\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十章\quad 重积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第三节\quad 三重积分}
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\begin{document}

\section{三重积分的概念}

\begin{frame}{三重积分的概念}

定积分及二重积分作为和的极限的概念， 可以很自然地推广到三重积分。
\pause
\begin{definition*}
设 $f(x, y, z)$ 是空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数。 
\pause
将 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域
\[
\Delta V_{1}, \Delta V_{2}, \cdots, \Delta V_{n},
\]
其中 $\Delta V_{i}$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。 
\pause
在每个 $\Delta V_{i}$ 上任取一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$,
作乘积 $f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n)$, 并作和 $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i}$. 
\pause
如果当各小闭区域直径中的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与闭区域 $\Omega$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 的取法无关， 那么称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上的三重积分。 
\pause
记作 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$, 即
\[\tag{3-1}
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i},
\]
\pause
其中 $f(x, y, z)$ 叫做\emph{被积函数}， $\mathrm{d} V$ 叫做\emph{体积元素}， $\Omega$ 叫做\emph{积分区域}。
\end{definition*}
\end{frame}

\begin{frame}
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分 $\Omega$, 那么除了包含 $\Omega$ 的边界点的一些不规则小闭区域外， 得到的小闭区域 $\Delta V_{i}$ 为长方体。 
\pause
设长方体小闭区域 $\Delta V_{i}$的边长为 $\Delta x_{j}, \Delta y_{k}$ 与 $\Delta z_{l}$, 则 $\Delta V_{i}=\Delta x_{j} \Delta y_{k} \Delta z_{l}$. 
\pause
因此在直角坐标系中， 有时也把体积元素 $\mathrm{d} V$ 记作 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 而把三重积分记作
\[
  \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z,
\]
其中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 叫做\emph{直角坐标系中的体积元素}。

~

\pause
当函数 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上连续时， (3-1) 式右端的和的极限必定存在，也就是函数 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上的三重积分必定存在， 即函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上必定可积。 
\pause
以后我们总假定函数 $f(x, y, z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上是可积的。 三重积分的性质与第一节中所叙述的二重积分的性质类似，这里不再重复了。

~

\pause
如果 $f(x, y, z)$ 表示某物体在点 $(x, y, z)$ 处的密度， $\Omega$ 是该物体所占有的空间闭区域， $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，那么 $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta V_{i}$ 是该物体的质量 $m$ 的近似值， 这个和当 $\lambda \rightarrow 0$ 时的极限就是该物体的质量 $m$, 所以
\[
  m=\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V.
\]
\end{frame}


\section{三重积分的计算}

\begin{frame}{三重积分的计算}
计算三重积分的基本方法是将三重积分化为\emph{三次积分}来计算。下面按利用不同的坐标来分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法。
\end{frame}


\begin{frame}{利用直角坐标计算三重积分}
  \begin{figure}
  \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-26}
\caption*{图 10-29}
\end{figure}

假设平行于 $z$ 轴且穿过闭区域 $\Omega$ 内部的直线与闭区域 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 相交不多于两点。
\pause
把闭区域 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面上，得一平面闭区域 $D_{x y}$ (图 10-29). 
\pause
以 $D_{x y}$ 的边界为准线作母线平行于 $z$ 轴的柱面。
\pause
这柱面与曲面 $S$ 的交线从 $S$ 中分出上、下两部分， 它们的方程分别为
\[
S_{1}: z=z_{1}(x, y), \quad S_{2}: z=z_{2}(x, y),
\]
其中 $z_{1}(x, y)$ 与 $z_{2}(x, y)$ 都是 $D_{x y}$ 上的连续函数， 且 $z_{1}(x, y) \leqslant z_{2}(x, y)$. 
\pause
过 $D_{x y}$ 内任一点 $(x, y)$ 作平行于 $z$轴的直线， 这直线通过曲面 $S_{1}$ 穿入 $\Omega$ 内， 然后通过曲面 $S_{2}$ 穿出 $\Omega$ 外， 穿入点与穿出点的坚坐标分别为
 $z_{1}(x, y)$ 与 $z_{2}(x, y)$.


 \end{frame}
 \begin{frame}
 在这种情形下，积分区域 $\Omega$ 可表示为
 \[
 \Omega=\left\{(x, y, z) \mid z_{1}(x, y) \leqslant z \leqslant z_{2}(x, y), (x, y) \in D_{x y}\right\} .
 \]
 \pause
 先将 $x, y$ 看做定值， 将 $f(x, y, z)$ 只看做 $z$ 的函数， 在区间 $\left[z_{1}(x, y), z_{2}(x, y)\right]$ 上对 $z$ 积分。 
\pause
 积分的结果是 $x, y$ 的函数， 记为 $F(x, y)$, 即
 \[
   F(x, y)=\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z,
 \]
 然后计算 $F(x, y)$ 在闭区域 $D_{x y}$ 上的二重积分
 \[
 \iint_{D_{x y}} F(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_{x y}}\left[\int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z\right] \mathrm{d} \sigma
 \]
 \pause
 假如闭区域
 \[
 D_{x y}=\left\{(x, y) \mid y_{1}(x) \leqslant y \leqslant y_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b\right\},
 \]
 把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式
 \[\tag{3-2}
 \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)} \mathrm{d} y \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z .
 \]
 公式 (3-2) 把三重积分化为先对 $z$ 、次对 $y$ 、最后对 $x$ 的三次积分。
 \end{frame}
 \begin{frame}

 如果平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴且穿过闭区域 $\Omega$ 内部的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 相交不多
于两点，也可把闭区域 $\Omega$ 投影到 $y O z$ 面上或 $z O x$ 面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分。 如果平行于坐标轴且穿过闭区域 $\Omega$ 内部的直线与边界曲面 $S$ 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把 $\Omega$ 分成若干部分，使 $\Omega$ 上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和。
 \end{frame}


 \begin{frame}
  \begin{example}
   计算三重积分 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Omega$ 为三个坐标面及平面 $x+2 y+z=1$ 围成的闭区域。
  \end{example}
  \pause
 \begin{solution}
 \begin{wrapfigure}{r}{.28\textwidth}
  \centering
 \includegraphics[max width=.26\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-27(1)}
  \caption*{图 10-30}
  \pause
 \end{wrapfigure}
 作闭区域 $\Omega$ 如图 10-30 所示。
  将 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面上，得投影区域 $D_{x y}$ 为三角形闭区域 $O A B$. 直线 $O A, O B$ 及 $A B$ 的方程依次为 $y=0, x=0$ 及 $x+2 y=1$, 所以
 \[
  D_{x y}=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \frac{1-x}{2}\right., 0 \leqslant x \leqslant 1\right\} .
 \]
  在 $D_{x y}$ 内任取一点 $(x, y)$, 过此点作平行于 $z$ 轴的直线，该直线通过平面 $z=0$ 穿入 $\Omega$ 内， 然后通过平面 $z=1-x-2 y$ 穿
  出 $\Omega$ 外。

  ~

于是，由公式(3-2) 得
\[
  \begin{aligned}
    \iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{1-x-2 y} x \mathrm{~d} z=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}(1-x-2 y) \mathrm{d} y \\
  & =\frac{1}{4} \int_{0}^{1}\left(x-2 x^{2}+x^{3}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{48} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
 有时，我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分， 即有下述计算公式。

  ~

  \pause
  \begin{figure}
  \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-27}
\caption*{图 10-31}
\end{figure}
设空间闭区域
\[
\Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{z}, c_{1} \leqslant z \leqslant c_{2}\right\},
\]
其中 $D_{z}$ 是竖坐标为 $z$ 的平面截闭区域 $\Omega$ 所得到的一个平面闭区域 (图 10-31), 则有
\[\tag{3-3}
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\int_{c_{1}}^{c_{2}} \mathrm{~d} z \iint_{D_{z}} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Omega$ 是由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成的空间闭区域。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-28(2)}
\caption*{图 10-32}
\pause
\end{wrapfigure}
空间闭区域 $\Omega$ 可表示为
\[
\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right.,-c \leqslant z \leqslant c\right\}
\]
如图 10-32 所示。 
由公式(3-3) 得
\[
  \begin{aligned}
    \iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =
    \int_{-c}^{c} z^{2} \mathrm{~d} z \iint_{D_{z}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
  & =\pi a b \int_{-c}^{c}\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) z^{2} \mathrm{~d} z\\
  &= \frac{4}{15} \pi a b c^{3} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}{利用柱面坐标计算三重积分}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-28}
\caption*{图 10-33}
\end{wrapfigure}

设 $M(x, y, z)$ 为空间内一点， 并设点 $M$ 在 $x O y$ 面上的投影 $P$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$, 则这样的三个数 $\rho, \theta, z$ 就叫做点 $M$ 的\emph{柱面坐标} (图 10-33), 这里规定 $\rho, \theta, z$ 的变化范围为
\[
  \begin{aligned}
  & 0 \leqslant \rho<+\infty, \\
& 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, \\
& -\infty<z<+\infty .
\end{aligned}
\]
\pause
三组坐标面分别为

$\rho=$ 常数， 即以 $z$ 轴为轴的圆柱面;

$\theta=$ 常数， 即过 $z$ 轴的半平面;

$z=$ 常数， 即与 $x O y$ 面平行的平面。

\pause
显然， 点 $M$ 的直角坐标与柱面坐标的关系为
\[\tag{3-4}
  \left\{\begin{array}{l}
    x=\rho \cos \theta, \\
  y=\rho \sin \theta, \\
z=z .
\end{array}\right.
\]
\end{frame}



\begin{frame}
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-28(1)}
\caption*{图 10-34}
\end{wrapfigure}

现在要把三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$ 中的变量变换为柱面坐标。 为此， 用三组坐标面 $\rho=$ 常数， $\theta=$ 常数， $z=$ 常数把 $\Omega$ 分成许多小闭区域， 除了含 $\Omega$ 的边界点的一些不规则小闭区域外， 这种小闭区域都是柱体。 今考虑由 $\rho, \theta$ 和 $z$ 各取得微小增量 $\mathrm{d} \rho, \mathrm{d} \theta$ 和 $\mathrm{d} z$ 所成的柱体的体积 (图 10-34). 这个体积等于高与底面积的乘积。 现在高为 $\mathrm{d} z$ 、底面积在不计高阶无穷小时为 $\rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta$ (即极坐标系中的面积元素),

 于是得
 \[
   \mathrm{d} V=\rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z,
 \]
 这就是\emph{柱面坐标系中的体积元素}。 再注意到关系式(3-4), 就有
 \[\tag{3-5}
 \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} F(\rho, \theta, z) \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z,
 \]
 其中 $F(\rho, \theta, z)=f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z)$. (3-5) 式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。 至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算， 则可化为三次积分来进行。 化为三次积分时， 积分限是根据 $\rho, \theta$ 和 $z$ 在积分区域 $\Omega$ 中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。
 \end{frame}
 \begin{frame}
  \begin{example}
   利用柱面坐标计算三重积分 $\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=4$ 所围成的闭区域。
  \end{example}
\pause
 \begin{solution}
  把闭区域 $\Omega$ 投影到 $x O y$ 面上， 得半径为 $2$ 的圆形闭区域
 \[
  D_{x y}=\{(\rho, \theta) \mid 0 \leqslant \rho \leqslant 2,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\} .
 \]
  在 $D_{x y}$ 内任取一点 $(\rho, \theta)$, 过此点作平行于 $z$ 轴的直线， 此直线通过曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 穿入 $\Omega$内， 然后通过平面 $z=4$ 穿出 $\Omega$ 外。 因此闭区域 $\Omega$ 可用不等式
 \[
  \rho^{2} \leqslant z \leqslant 4, \quad 0 \leqslant \rho \leqslant 2, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi
 \]
  来表示。于是
 \[
    \begin{aligned}
       \iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\iiint_{\Omega} z \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2} \rho \mathrm{d} \rho \int_{\rho^{2}}^{4} z \mathrm{~d} z \\
      & =\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2} \rho\left(16-\rho^{4}\right) \mathrm{d} \rho=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi\left[8 \rho^{2}-\frac{1}{6} \rho^{6}\right]_{0}^{2}=\frac{64}{3} \pi .
     \end{aligned}
    \]
   \end{solution}
 \end{frame}

 \begin{frame}{利用球面坐标计算三重积分}


设 $M(x, y, z)$ 为空间内一点， 则点 $M$ 也可用这样三个有次序的数 $r, \varphi$ 和 $\theta$ 来确定，其中 $r$ 为原点 $O$ 与点 $M$ 间的距离， $\varphi$ 为有向线段 $\overrightarrow{O M}$ 与 $z$ 轴正向所夹的角， $\theta$ 为从 $z$ 轴正向来看自 $x$ 轴按逆时针方向转到有向线段 $\overrightarrow{O P}$ 的角， 这里 $P$ 为点 $M$ 在 $x O y$ 面上的投影 (图 10-35). 
这样的三个数 $r, \varphi$ 和 $\theta$ 叫做点 $M$ 的\emph{球面坐标}， 这里 $r, \varphi$ 和 $\theta$ 的变化范围为
\[
  \begin{aligned}
  & 0 \leqslant r<+\infty, \\
& 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, \\
& 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .
\end{aligned}
\]
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-29}
\caption*{图 10-35}
\end{wrapfigure}
三组坐标面分别为

$r=$ 常数， 即以原点为球心的球面;

$\varphi=$ 常数， 即以原点为顶点、 $z$ 轴为轴的圆锥面;

$\theta=$ 常数， 即过 $z$ 轴的半平面。


设点 $M$ 在 $x O y$ 面上的投影为 $P$, 点 $P$ 在 $x$ 轴上的投影为 $A$, 则 $O A=x, A P=y, P M=z$. 又
\[
O P=r \sin \varphi, \quad z=r \cos \varphi .
\]
因此，点 $M$ 的直角坐标与球面坐标的关系为
\[\tag{3-6}
  \left\{\begin{array}{l}
    x=O P \cos \theta=r \sin \varphi \cos \theta, \\
  y=O P \sin \theta=r \sin \varphi \sin \theta, \\
z=r \cos \varphi .
\end{array}\right.
\]
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-30}
\caption*{图 10-36}
\end{wrapfigure}
为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标， 用三组坐标面 $r=$ 常数， $\varphi=$ 常数， $\theta=$ 常数把积分区域 $\Omega$ 分成许多小闭区域。 考虑由 $r, \varphi$ 和 $\theta$ 各取得微小增量 $\mathrm{d} r, \mathrm{~d} \varphi$ 和 $\mathrm{d} \theta$ 所成的六面体的体积 (图 10-36). 不计高阶无穷小，可把这个六面体看做长方体，其经线方向的长为 $r \mathrm{~d} \varphi$, 纬线方向的宽为 $r \sin \varphi \mathrm{d} \theta$, 向径方向的高为 $\mathrm{d} r$,于是得
\[
\mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta,
\]
这就是\emph{球面坐标系中的体积元素}。 再注意到关系式 (3-6), 就有
\[\tag{3-7}
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega} F(r, \varphi, \theta) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta,
\]
其中 $F(r, \varphi, \theta)=f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi)$, (3-7) 式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对 $r$ 、对 $\varphi$ 及对 $\theta$ 的三次积分。
\end{frame}

\begin{frame}
若积分区域 $\Omega$ 的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为 $r=$ $r(\varphi, \theta)$, 则
\[
I=\iiint_{\Omega} F(r, \varphi, \theta) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{r(\varphi, \theta)} F(r, \varphi, \theta) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r .
\]
当积分区域 $\Omega$ 为球面 $r=a$ 所围成时，则
\[
I=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{a} F(r, \varphi, \theta) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r .
\]
特别地， 当 $F(r, \varphi, \theta)=1$ 时， 由上式即得球的体积
\[
V=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\pi} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{a} r^{2} \mathrm{~d} r=2 \pi \cdot 2 \cdot \frac{a^{3}}{3}=\frac{4}{3} \pi a^{3},
\]
这是我们所熟知的结果。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
   求半径为 $a$ 的球面与半顶角为 $\alpha$ 的内接锥面所围成的立体 (图 10-37) 的体积。
  \end{example}
\pause
  \begin{solution}
    \begin{wrapfigure}{r}{.28\textwidth}
    \centering
   \includegraphics[max width=.28\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-31}
  \caption*{图 10-37}
  \pause
 \end{wrapfigure}
   设球面通过原点 $O$, 球心在 $z$ 轴上， 又内接锥面的顶点在原点 $O$, 其轴与 $z$ 轴
  重合， 则球面方程为 $r=2 a \cos \varphi$, 锥面方程为 $\varphi=\alpha$. 因为立体所占有的空间闭区域 $\Omega$ 可用不等式
 \[
  0 \leqslant r \leqslant 2 a \cos \varphi, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \alpha, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi
 \]
  来表示，所以
 \[
    \begin{aligned}
      V & =\iiint_{\Omega} r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta\\
      &=  \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\alpha} \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{2 a \cos \varphi} r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \\
      & =2 \pi \int_{0}^{\alpha} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \int_{0}^{2 a \cos \varphi} r^{2} \mathrm{~d} r\\
      &= \frac{16 \pi a^{3}}{3} \int_{0}^{\alpha} \cos ^{3} \varphi \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \\
     & =\frac{4 \pi a^{3}}{3}\left(1-\cos ^{4} \alpha\right) .
    \end{aligned}
   \]
  \end{solution}
\end{frame}
\end{document}
